선형 시스템이란?
직선 형태로 놓아진 함수들의 집합이다.(Functions plotted in a straight line shape)
위 사진처럼 두개의 방정식의 집합을 linear system이라 부를 수 있다.
linear system에는 해를 구하는 것과 관련이있는 성질이 있다.
consistent(일관적인) : 적어도 하나의 해가 존재한다.(exist at least one solution)
inconsistent(비일관적인) : 해가 존재하지 않는다.(no solution)
또한 이런 linear system의 일반형은 :
a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + .... + an*xn = b
으로 표현할 수 있다.
또한 a11*x1 + a12*x2 + a3*x3 + .... + a1n*xn = b1
a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + .... + a2n*xn = b2
a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + .... + a3n*xn = b3
. . .
am1*x1 + am2*x2 + am3*x3 + .... + amn*xn = bm
이러한 집합을 m * n linear system이라고 한다.
이러한 선형 시스템을 해결하는 방법은
Elimination Method(날리기 방법)을 통해 Upper / Lower triangular form을 만들어서 해결하는 것이다.
예를 보이자면
왼쪽과 같은 함수 집합이 있고 이를 오른쪽 위와 같은 linear system으로 표현할 수 있다.
변수를 하나씩 제거하기 위해 E1에 -2를 곱하여 E2에 더한값을 E2에 대입한다.
이 과정을 거쳐서 E2의 변수 하나를 없앴고 빨간색 삼각형과 같이 상직각삼각형으로 만들어 준다.
이 과정을 통해서 우리는 S(sol) = (2, 2)라는 것을 알게 되었고 이를 검산하고 싶다면 E1이나 E2에
구한값을 대입해보면 된다.
값을 구하는 과정에서 3가지의 연산(operation)을 하게 된다.
1. 어떠한 2개의 방정식을 서로 바꾼다.(Interchanging any two equations)
2. 하나의 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.(Multiplying any equation by a nonzero constant)
3. 상수를 곱한 방정식을 다른 방정식에 더한다.(Adding multiple of one equation to another)
3*3 선형 시스템이다. 3개의 면의 집합이다.
왼쪽과 같이 표현하면 어디 한 점에서 만나는지 잘 보이지 않기 때문에 오른쪽과 같이 선만 남겨서 표현한다.
앞서 설명한 3가지의 연산으로 이 시스템의 해를 구한 과정이다.
또한 면 선형 시스템은 다음 3가지 조건인 경우 해가 무수히 많다.
1. 3개의 면이 전부 같은 경우.(The three planes are all the same)
2. 3개의 면이 선으로 맞닿아있는 경우.(The three planes intersect in line)
3. 2개의 면이 같고 하나의 면이 선으로 맞닿은 경우.
(Two of the planes are the same with a third plane intersecting them in a line)
4 * 3 선형 시스템을 해결하는 방식이다. 답의 개수는 무수히 많지만 모든 수가 답이 될 수는 없다. 따라서
x4가 t라고 조건을 추가하여 어떤 조건을 만족해야 해가 될 수있는지 표기한다. 여기서 t는 실수에 속한 수이다.
3점을 통과하는 포물선(parabola)의 방정식 또한 구할 수 있다.
포물선의 기본형은 다음과 같다.
y = ax^2 + bx + c
따라서 조건을 만족하는 방정식은
y = x^2 -2x -2 이다.